این سطوح، به ما نمی‌گوید که یک شخص، چه مقدار دانش دارد. بلکه در عوض، توصیف می‌کنند که یک شخص، چگونه و ‌در مورد چه نوع از ایده های هندسی فکر می‌کند (ریحانی، ۱۳۸۴).

۲-۵-۱ سطوح تفکر

سطح یک- تشخیص یا دیداری^۱؛

سطح دو- تجزیه و تحلیل^۲؛

سطح سه- استنتاج غیر رسمی^۳؛

سطح چهار- استنتاج رسمی^۴؛

سطح پنج- دقت^۵.

۱ Recognition/Visualization

۲ Analysis

۳ Informal Deduction

۴ Formal Deduction

۵ Rigor

• سطح یک- تشخیص یا دیداری

به طور کلی اشکال هندسی تنها به وسیله شکلشان و نه به وسیله ویژگی‌هایشان شناخته می‌شوند. آن‌ ها در برخورد با اشکال هندسی به نمونه های بصری رجوع می‌کنند. مثلا می‌گویند یک مستطیل شبیه یک در است یا یک دایره شبیه یک توپ است. به علت عدم توجه به خواص اشکال، یک مربعی که به اندازه ۴۵ درجه دوران یافته دیگر از دید آن ها یک مربع نیست بلکه یک لوزی است. زیرا اشکال با توجه به ظاهرشان در سطح یک ون‌هیلی دسته بندی می‌شوند. این سطح در شماره‌گذاری اولیه توسط ون‌هیل ابتدا به صورت سطح صفر و با نام پایه مطرح شد اما بعدا به علت اهمیت این سطح شماره ی آن به یک تغییر کرد تا روی اهمیت سطح دیداری تأکید شود (ون هیل، ۱۹۸۶ ؛ به نقل از هندسکومب، ۲۰۰۵).

نتیجه‌ تفکر در این سطح، کلاس ها یا گروه‌هایی از شکل‌ها هستند که شبیه هم می‌باشند.

• سطح دو- تجزیه و تحلیل

در این سطح دانش‌آموزان ویژگی‌های هر شکل را تشخیص می‌دهند و می‌دانند که هر شکل دارای مجموعه‌ای از ویژگی‌ها است، اما آن‌ ها نمی‌توانند ارتباط بین ویژگی‌ها را دریابند. وقتی شکلی را توصیف می‌کنند، ممکن است تمام ویژگی­های آن شکل را لیست کنند، اما ویژگی­هایی را که برای توصیف، ضروری و لازم هستند را نمی‌دانند(میسون، ۱۹۹۸). دانش‌آموز می‌تواند اشکال را با توجه به اجزا و روابط بین آن‌ ها تحلیل کند، ویژگی‌های یک طبقه از اشکال را به طور تجربی معین کند، و ویژگی­ها را برای حل مسائل استفاده کند. دانش‌آموزان شکل‌های هندسی را از خصوصیاتشان توصیف می‌کنند، نه از روی ظاهرشان( شورای ملی معلمان ریاضی، ۱۹۹۵). به طور مثال مربع، چهار زاویه­ قائمه و چهار ضلع برابر دارد.

نتیجه ی تفکر در این سطح، خواص شکل ها هستند.

• سطح سه- استنتاج غیر رسمی یا مرتب سازی

دانش ­آموز ارتباط بین ویژگی­ها و اشکال را درک می­ کند. در این سطح دانش ­آموز می ­تواند تعریف با معنی و همچنین استدلال­های رسمی برای توجیه استدلال خود به کار ببرد(میسون، ۱۹۹۸). به گفته‌ ون‌هیل(۱۹۸۶)، دانش‌آموزان در این سطح می‌توانند دلایل خود را به روش استقرایی مدیریت کنند و اثبات­هایی را توسط خودشان انجام دهند.

آن‌ ها نه تنها قادر به تشخیص ویژگی‌های درونی هر شکل هستند بلکه خواهند توانست روابط بین این ویژگی‌ها را در اشکال متفاوت شناسایی کنند. دانش ­آموزان با درک این روابط شروع به بحث‌های استنتاجیِ غیر رسمی می‌کنند، اما نقش استنتاج را درک نمی‌کنند و دلایل تجربی را با دلایل استنتاجی ترکیب می‌کنند(برگر^۱ و شائوگنسی^۲، ۱۹۸۶). در این سطح دانش ­آموزان می‌توانند یک خاصیت را از دیگری نتیجه بگیرند.

یادگیرنده‌ها در این سطح، مستعد تفکر “اگر- آن‌گاه” (ولی نه اثبات رسمی)، هستند. به همین دلیل، این سطح را می توان سطح ارتباط‌ها نیز، نامید زیرا در این سطح است که شخص باید بتواند ارتباط مجرد بین شکل ها را درک کند. برای مثال، یک لوزی، یک چهارضلعی با چهارضلع مساوی، و یک مستطیل، یک چهارضلعی با چهار زاویه ی قائمه است. دانش آموزی که در این سطح فکر می‌کند، می‌تواند تحلیل کند که پس یک مربع، هم یک لوزی و هم یک مستطیل است.

نتیجه تفکر در این سطح، درک ارتباطات بین خواص اشیای هندسی است.

• سطح چهار- استنتاج رسمی

دانش ­آموز می ­تواند اثبات کند، نقش تعاریف، قضیه­ها و معنی لازم و کافی را می­داند(میسون^۳، ۱۹۹۸). در این سطح استنتاج معنی‌دار می‌شود. دانش ­آموز اهمیت استنتاج و نقش فرض­ها، اصول موضوعه، قضایا و اثبات‌ها را درک می‌کند(هافر^۴، ۱۹۸۱). همچنین آن ها باید قادر باشند در حالی که یادگیریِ طوطی­وار و از روی عادت را به حداقل رسانده­اند، برای هر مرحله از اثبات خود دلایلی ارائه دهند. به عنوان مثال اگر از دانش­آموزی سؤال شود که یک شکل هندسی، مثل مستطیل را با حداقل اطلاعاتِ ممکن توصیف کند، او در پاسخ خواهد گفت که مستطیل، متوازی‌الاضلاعی است که یک زاویه‌ی قائمه دارد(پگ^۵، ۱۹۹۵). دلایل دانش ­آموزان به طور رسمی در یک چارچوب سیستم ریاضی، اصطلاحات تعریف نشده، اصول موضوعه، قضایا، سیستم­های منطقی و تعاریف قرار می‌گیرد(برگر و شائوگنسی، ۱۹۸۶).

در این سطح، دانش آموز می‌تواند به فهم و درکی قابل اتکا و با ثبات از آنچه که قضایای ریاضی و تعریف نشده ها هستند، برسد و توانایی نوشتن یک اثبات را پیدا کند. موضوعات تفکر در این سطح، ارتباطات بین خواص اشیای هندسی و نتیجه ی چنین تفکری، ایجاد توانایی فهم و درک نظام های اصل موضوعی استنتاجی برای هندسه است.

۱ Burger

۲ Shaughnessy

۳ Mason

۴ Hoffer

۵ pegg

• سطح پنج- دقت

دانش‌آموزان در این سطح جنبه­ های رسمی اثبات، مثل مقایسه و ایجاد سیستم­های ریاضی را درک ‌می‌کنند. در این سطح، دانش ­آموز اهمیتِ اثبات غیر­مستقیم و اثبات مستقیم را می­فهمد و می ­تواند هندسه­ی نااقلیدسی را درک کند(میسون، ۱۹۹۸). آن ها قادرهستند قضیه­ها را در سیستم‌های اصول موضوعه‌ی متفاوت به طور دقیق مشخص کنند. دانش ­آموزان قادرند سیستم‌های قیاسی و استقرایی، مانند استخراج قضایا در سیستم­های مختلف اصول موضوعه را تحلیل کنند. هندسه­ی نا‌اقلیدسی می‌تواند مورد مطالعه قرار بگیرد و با سیستم­های دیگر مقایسه شود(می بری، ۱۹۸۳). به عنوان مثال دانش ­آموز می‌داند که مکان هندسی نقاطی که از یک نقطه­ ثابت به یک اندازه‌اند، در هندسه­ی اقلیدسی یک دایره است در صورتی که همین نقاط در هندسه­ی تاکسی یک مربع هستند(کراوس^۱، ۱۹۸۶).

به گفته کرولی، آخرین سطح یعنی دقت، کمترین توسعه را در کارهای اصلی ون هیلی داشته است و از طرف محققان دیگر نیز، کمتر مورد توجه واقع شده است. به طوری که پی‌یر‌ماری ون‌هیلی ابراز کرده بود که خود، به ویژه به سه سطح نخست علاقه مند بوده است، زیرا بخش عمده هندسه‌ی دبیرستانی در سطوح ۳ یا ۴، آموزش داده می‌شود. در نتیجه، نباید تعجب براتگیز باشد که چرا بیشتر محققان، روی سطوح پایین‌تر تمرکز کرده‌اند.

۲-۵-۲ ویژگی های مدل ون‌هیلی

مارگارت میسون (۱۹۹۵)، ویژگی‌های زیر را برای مدل ون‌هیلی برشمرده است.

• دنباله‌ای بودن^۲

مثل هر نظریه توسعه‌ای – تحولی یادگیری، در مدل ون‌هیلی نیز، یادگیرنده باید در داخل سطوح، به ترتیب حرکت کند. یعنی یک دانش‌آموز نمی‌تواند در سطح n ون‌هیلی باشد بدون اینکه n-1 سطح قبلی را طی کرده باشد (تامپسون، ۲۰۰۶).

۱ Krause

۲ Sequential