= ()

() : احتمال پاسخ صحیح آزمودنی با توانایی () که به طور تصادفی انتخاب شده است به سوال i

b : پارامتر دشواری

() : پارامتر توانایی

e: مبنای لگاریتم طبیعی که مقدار آن برابر ۷۱۸/۲ است

D : عامل مقیاس است. برای نزدیک کردن تابع لوجیستیک به تابع اجایو نرمال در نظر گرفته می­ شود که مقدار آن برابر ۷/۱ است.

در این مدل، ICC ها موازی هستند و فقط از نظر مکانی با هم متفاوت هستند. به بیانی دیگر در این مدل فرض می شود که تنها توانایی آزمودنی­ها و دشواری سوال، عملکردشان را متأثر می­سازد. همچنین، فرض می­ شود تمام سوالات پارامتر تشخیص یکسانی دارند. و نیز مجانب پایینی ICC، یعنی © برابر با ۰ است.

مدل دو پارامتری^[۱۰۰]

این مدل را با نماد (۲PL) نشان می­ دهند. تنها تفاوتی که مدل دو پارامتری با مدل یک پارامتری دارد، وجود پارامتر تشخیص در این مدل است. در مدل دو پارامتری چون سوالات دارای قدرت تشخیص متفاوتی هستند، ‌بنابرین‏ پاسخ دادن به هر سوال اهمیت متفاوتی در توانایی و نمره کل فرد دارد. احتمال پاسخ صحیح به سوال در این مدل از طریق معادله زیر برآورد می­ شود:

= ()

در این مدل بیانگر پارامتر تشخیص است. سایر نماد­های به کار رفته در این مدل همان نماد­های مدل یک پارامتری است. ICC ها در این مدل هم از نظر جایگاهشان در مقیاس توانایی و هم از نظر شیب با هم تفاوت دارند. ICC ها ممکن است همدیگر را قطع کنند که این پیامد داشتن شیب­های متفاوت است. ‌به این علت که در مدل­های یک پارامتری و دو پارامتری، عامل حدس وجود ندارد، این مدل­ها برای سوالات تشریحی یا باز پاسخ مناسب هستند.

مدل سه پارامتری^[۱۰۱]

با تغییری که توسط برن بام^[۱۰۲] ( ۱۹۶۸) در مدل منطقی دو پارامتری ایجاد شد، پارامتر حدس نیز به دیگر

پارامتر­ها افزوده گردید. معادله ریاضی این مدل (۳PL) ‌به این صورت است:

c + = ()

C در این مدل بیانگر پارامتر حدس (مجانب پایین) است. در مدل سه پارامتری، همه پارامترهای سوال دخالت دارند و ICC ها در این مدل نه تنها از نظر مکان و شیب، بلکه از نظر مجانب پایین © نیز با هم تفاوت دارند. به دلیل وجود پارامتر حدس، انتهای پایین خم ویژه سوال در این مدل صفر نیست بلکه برابر با مقدار c است. از این رو در این مدل پارامتر دشواری سوال، نقطه ای در مقیاس توانایی است که احتمال پاسخ صحیح در آن برابر میانگین (c و۱) باشد. این مدل برای سوالات بسته پاسخ که آزمودنی­ها با بهره گرفتن از عامل حدس می ­توانند به جواب برسند، بسیار مناسب است.

نظریه تعمیم­پذیری در مقابل نظریه کلاسیک آزمون

برنان (b2010) از شباهت­های دو نظریه تعمیم­پذیری و کلاسیک آزمون به موارد زیر اشاره می­ کند؛ هر دو نظریه نمره واقعی (یا جهان) را به عنوان یک ارزش مورد انتظار از نمرات مشاهده شده تعریف ‌می‌کنند. هر دو نظریه به وضوح خطاهای اندازه ­گیری تصادفی را شامل می­شوند و مفاهیم اعتبار( یا تعمیم­پذیری) در هر دو نظریه به خوبی تعریف شده است.

این دو نظریه به رغم شباهت­هایی که دارند، تفاوت­های بسیار مهمی نیز دارند که در زیر به شرح مواردی از آن پرداخته می­ شود.

• چارچوب مفهومی : GT نسبت به CTT چارچوب مفهومی قدرتمند­تری دارد که منجر به برطرف کردن

تعدادی از تناقضات آشکار در چند بحث CTT از اعتبار شده است. دو ویژگی مهم GT که به حل تناقضات

کمک می­ کند عبارتند از: تمایز گذاشتن GT میان رویه ­های اندازه ­گیری ثابت و تصادفی و همچنین قابلیت این نظریه در پرداختن به طرح­های مختلف مطالعه D ( برنان، b2010).

• مفروضات زیربنایی آماری: در CTT مفروضات آزمون­های موازی و آزمون­های اساساً تائو معادل،

اغلب غیرقابل دفاع هستند. در حالی که GTفرض می­ کند که آزمون­ها تصادفی موازی هستند و محتوای آزمون یک نمونه تصادفی از حیطه یا جهان تعریف شده در نظر گرفته می­ شود. برنان (b2010) بیان می­ کند که هر دو نوع موازی بودن ایده آل هستند و هیچگاه احتمال اینکه کاملاً واقعیت داشته باشد، نیست. اگر چه یکی یا دیگری ممکن است در زمینه­ای خاص مناسب­تر باشد.

• مدلسازی نمرات مشاهده شده: در CTT نمره ی مشاهده شده یک فرد در آزمون مبتنی بر نمره واقعی

شخص در آزمون و خطای اندازه ­گیری است. در GT هر نمره مشاهده شده معرف یک نمونه از تمام نمرات ممکن فرض می­ شود و در قالب یک یا چند مؤلفه واریانس بیان می­ شود. نمره مشاهده شده در یک آزمون از رویه ­های مختلف مورد استفاده در آزمون تأثیر می­پذیرد و با توجه به رویه ­های مورد استفاده در آزمون معرف عملکرد فرد در همان رویه­هاست.

• منابع چندگانه­ی خطای اندازه ­گیری: همان­طور که سوئن و لی (۲۰۰۷) مطرح کرده ­اند؛ در وضعیت­های

اندازه ­گیری پیچیده که با منابع چندگانه­ای از خطای اندازه ­گیری (رویه­ ها) روبه­رو است، نمره­ی مشاهده شده نتیجه­ نمره­ی واقعی باضافه­ی اثرات و تعاملات این منابع چندگانه خطاهای اندازه ­گیری است. روش معمول CTT در چنین وضعیت­های اندازه ­گیری برای برآورد اعتبار این است که از روش­های مختلفی (همچون بازآزمایی، بین ارزیابان، همسانی درونی،… ) استفاده می­ کند. روش­های مختلف، ضرایب اعتبار مختلفی را به دنبال دارند که این نیز به نوبه­ خود منجر به خطاهای استاندارد اندازه ­گیری متفاوتی می­ شود. مسئله­ای که اینجا پیش می ­آید این است که در چنین وضعیتی دقیق­ترین برآورد ضریب اعتبار کدام است؟ و به منظور ساخت فاصله­های اطمینان حول نمرات مشاهده، کدام خطای استاندارد اندازه ­گیری را باید به کار برد؟ متأسفانه CTT قادر به پاسخ­گویی ‌به این سوالات نیست. در حالی که در GT ‌می‌توان منابع چندگانه خطا را همزمان در ترکیب­های متفاوتی از تصادفی یا ثابت در نظر گرفت. با تشخیص اینکه آیا یک رویه تصادفی یا ثابت باشد امکان برآورد اعتبار و خطای استاندارد ناشی از منابع معین خطا در GT وجود دارد. به بیانی دیگر، GT سهم هر منبع خطا (رویه) را در واریانس نمرات آزمون تعیین می­ کند و فرصت محاسبه­ برآوردهای متفاوتی از اعتبار را می­دهد که بستگی ‌به این دارد کدام منبع خطا برای هر استفاده ی خاص از آزمون مهم در نظر گرفته می­ شود. فن و سان (۲۰۱۳) بیان ‌می‌کنند که در چنین وضعیت­های اندازه ­گیری، CTT قادر به برآورد اعتبار نیست زیرا شیوه ­های سنتی اعتبار تنها برای یک رویه طراحی ‌شده‌اند. از این رو CTT نمی­تواند به بررسی منابع چندگانه خطای اندازه ­گیری بپردازد. سوئن و لی^[۱۰۳](۲۰۰۷) نیز اذعان داشتند، این گونه نیست که CTT وجود منابع چندگانه خطاهای اندازه ­گیری را انکار کند، بلکه حقیقت این است که این نظریه نمی­تواند از لحاظ مفهومی و آماری آن را در خود جای دهد در حالی که، GT نه تنها می ­تواند از نظر مفهومی تصور داشتن انواع مختلفی از ضریب اعتبار را در خود لحاظ کند، بلکه می ­تواند یک مکانیسم عملی برای انجام آن نیز داشته باشد.